CS 61B 渐进论

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笔记的来源：CS 61B-2024 春季的课程 课程主要内容：数据结构与算法分析 课程运用语言：Java

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这个课有6 个 Homework，10 个 Lab，9 个 Project。其中第一个 project 是一个完整的 2024 游戏的实现，很有意思。此文章对应的是课程 12 节的内容。主要讲述算法

此笔记对应资源：CS 61B 课本资源

1. 高效的程序

高效的程序可以从两方面考虑：

1. 编程成本

   1. 需要多长时间编写程序？

   2. 阅读修改代码是否容易？

   3. 程序的可维护性，扩展性如何？

2. 执行成本

   1. 时间复杂度：你的程序执行需要多长时间？

   2. 空间复杂度：你的程序需要多少内存？

2. 判断数组是否有重复元素

为了理解接下的内容，我们考虑判断数组是否有重复元素的问题。

List<Integer> example = [-3, -1, 2, 4, 4, 8, 10, 12];

一种简单的算法 dup1是比较每对元素。在上面的例子中，我们将列表中的每个元素与 -3 进行比较，然后与 -1、2 等进行比较。如果发现重复元素，则返回 true。

public static boolean dup1(int[] A) {
  for (int i = 0; i < A.length; i += 1) {
    for (int j = i + 1; j < A.length; j += 1) {
      if (A[i] == A[j]) {
         return true;
      }
    }
  }
  return false;
}

更好的算法 dup2是利用列表的排序特性！将列表排序后，我们不必比较每对元素，而是可以将每个元素与其旁边的元素进行比较。

public static boolean dup2(int[] A) {
  for (int i = 0; i < A.length - 1; i += 1) {
    if (A[i] == A[i + 1]) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

3. 算法性能表达

1. 利用时间衡量

• 使用物理秒表（不推荐）。

• 使用 Unix 的内置 time 命令。

• 使用具有类的普林斯顿标准库 stopwatch。

使用其中任何一种方法都会显示（具有不同精度级别，取决于是否选择了物理秒表路径），随着输入大小的增加，dup1需要更长的时间才能完成，而dup2完成速度相对大致相同。

这个方法看起来已经很好了，但它有许多缺陷。例如，如果输入数组非常大，则dup1可能会花费很长的时间来处理，而dup2则可能仍然很快。此外，时间能表达的信息太模糊不精准，所以我们需要寻找另一种方法。

2.用操作次数来替代实际运行时间

for (int i = 0; i < A.length; i += 1) {
  for (int j = i+1; j < A.length; j += 1) {
    if (A[i] == A[j]) {
       return true;
    }
  }
}
return false;

对于每一个操作，我们可以记录它进行了多少次。假设数组的长度是 N（记得我们做的事计算数组哪是否有重复元素的问题）。这里绕了我一段时间，不过静下心来去列一下每一次运算的过程和 i，j 在运算时能取到的值，应该会很容易的理解。

操作	计数	解释
i=0	1	需要初始化一次 i
j=i+1	N	开始第二层循环时，j 都要初始化一次
<	(N² + 3N + 2)/2	详细解释见下
+=1	(N² + N)/2	相比小于号，他每次循环的的计数要少一次，因为结束的总是在判断运算符
==	(N² - N)/2	由于只在第二层循环内进行，每一次循环的次数比+=1 还要少一次
数组访问	N²-N	==号两边各访问一次

要计算小于运算进行了多少次，我们就要看有多少值会作为传入量传进这个运算当中：

练习

for (int i = 0; i < A.length - 1; i += 1){
  if (A[i] == A[i + 1]) {
    return true;
  }
}
return false;

去计算每个运算的计数

查看答案

4. 渐近现象

为了更好的衡量一个算法的性能，光是计算每个运算的计数是不够的，我们需要进一步的去简化这个性能的表达方式。

注意：我们的目标是比较算法性能，而不是量化算法的运行时间。

4.1 考虑最坏的情况

操作	计数
==	$100N^2$
>	$N^3+1$
<	500

假如每个运算各自占用的时间是 a,b,c，那么算法的运行时间为：

$$T(N) = 100aN^2 + b(N^3+1) + 500c$$

当 N 趋于一个极大的值，N^3+1 的增长速度明显大于其他的运算。所以我们一般指考虑 N 幂级数最大的运算的计数。

4.2 忽略低阶项

忽略低阶项，只考虑最高阶项，即忽略常数项和低阶项。

4.3 忽略常数项

常数项在比较的时候并不会有太大的影响。

5. 大 theta 记号

我们通过上述的方法，可以将$Q(N)$转化为$\Theta()$。

函数	大$\Theta$记号
$N^3+3N^4$	$N^4$
$N^3+\frac{1}{N}$	$N^3$
$Ne^N+N$	$Ne^N$

更进一步了解 假如有$Q(N)=\Theta(f(N))$,那么存在$k_1,k_2$使得有$k_1f(N)<=Q(N)<=k_2f(N)$。

6. 大 O 记号

它和大 theta 记号的区别在于只要满足$Q(N)<=k_2f(N)$ 比如说$Q(N)=N^3+3N^4$,那么$O(f(N))$可以取到$N^{10}$都可以。